非负函数反常积分的收敛性判别法

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[摘 要]正项级数的敛散性判别法很多，例如比较判别法、比值判别法（达郎贝尔判别法）、根值判别法、拉贝判别法，等价量判别法等。但是非负函数无穷积分的敛散性判别法却不多。正项级数与非负函数无穷积分本有相似之处，本文将建立非负函数无穷积分敛散性的几个新判别法，与正项级数敛散性判别法相类似。

[关键词]非负函数；无穷积分；判别法

理论背景（反常积分的Cauchy收敛原理）

积分区间无限或被积函数无界的积分问题，这样的积分叫反常积分。由于一般的被积函数的原函数并不一定是初等函数，即使是初等函数，也往往不易求出，因此有必要建立反常积分敛散性的判别法。

一、主要定理及证明

引理1：广义积分的Cauchy收敛准则 设f在区间上有唯一奇点b，则广义积分收敛，对b’，b’’，成立这条准则为一切广义积分的敛散性判别法提供了基本依据。

下面以为例来探讨反常积分敛散性的判别法.

引理2：（Cauchy收敛原理）反常积分收敛的充分必要条件是：对任意给定的（﹥0 ）存在A0≧a，使得对任意A，A′≧A0，有∣∣﹤

证 令，则的收敛性与极限存在性等價。根据函数极限的柯西准则：存在的充要条件是：，正数，当>M时，有，即.

虽然Cauchy收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必要条件，但是对于具体的反常积分，在使用上往往比较困难，因此需要导出一些便于使用的收敛判别法。

定理1.（比较判别法）设在[a，+∞﹚

上恒有0f（x）K，其中K是正常数，则

（1）当收敛时也收敛；

（2）当发散时也发散。

例1：讨论的敛散性（a为常数）

解：因为当x1时有，因为收敛，由此比较判别法，绝对收敛，所以收敛。

推论1：比较判别法的极限形式，设在[a，+]上恒有f（x）0和（x）0且，则：

（1）若，则收敛时也收敛.

（2）若，则发散时也发散.

所以，当时和同时收敛或同时发散.

证 （1）若，由极限的性质，存在常数A（Aa），

使得当时成立即：。

（2）若>0，由极限的性质，存在常数A（Aa），使得当时成立，其中（当时，可取任意正数），即。

于是，由此比较判别法，当发散时也发散。

练1：讨论的收敛性。

解：因为而收敛，

所以也收敛。

使用比较判别法，需要有一个敛散性结论明确，同时又有形式简单的函数作为比较对象，在上面的例子中我们都是取为比较对象，因为他们正好能满足这两个条件，将定理1中的具体取为，就得到如下Cauchy判别法：

定理2（Cauchy判别法）设在上恒有，K是正常数，

（1）若，且，则收敛；

（2）若，且，则发散。

推论2（Cauchy判别法的极限形式）设在上恒有，且，则

（1）若，且，则收敛；

（2）若，且，则发散。

练2：讨论的敛散性（a为实数）。

解：因为对任意常数a有，由Cauchy判别法的极限形式（1），可知也收敛。

定理3：（根值判别法）设任意，任意有，在[1，A]上可积，若则当时无穷积分收敛；当时发散。

定理4（拉贝判别法）：设f（x）在[1，+∞）连续且大于零，若，则当r>1时无穷积分收敛；当r<1时发散。

证：当r>1时，，有，

即，取p：，则当时有，

即，由可知这里n，N同上定理，于是存在仅仅与有关的常数M>0，使任意x>，有因为p>1，故无穷积分收敛，从可知收敛.

当r<1时，由可知，q<1，，，有，

若则由有，使f（x+1）>f（x），由定理可知发散。

若，则取，有.

即，由以此类推这里n，N同定理，又f（x）在[B0， B0+1]，故存在仅仅与B0有关的常数m>0使得，由可知无穷积分发散，从而由可知无穷积分发散。

定理5（拉贝判别法的推广）设f（x）在[1，+连续且大于零，若，则当r>e时无穷积分收敛；当r

定理6 f（x）在[1，+连续且大于零，a>1且为常数，若，则当当r>a时收敛；当r

定理7 ：等价量判别法 设f和g在存在唯一奇点b且f（x） g（x），则和同时绝对收敛。

例2 讨论，其中a，b是实参数。

解： 积分I有三个奇点：0，1和+∞。当时，，可见，当a>0时，积分在奇点x=0处绝对收敛。当时，，可见，当a+b<1时，积分在奇点x=1处绝对收敛。当时，，可见，当1+b>1时，即当b>0时，积分在奇点x=+处绝对收敛。

练3 讨论的敛散性（）。

解 这是个定号的反常积分，x=0是它的唯一奇点。

当0

类似地，当p>1时，取则，由Cauchy判别法的极限形式，发散。

当p=1时，可以直接用Newton-Leibniz公式得到。因此，当0

需要提醒的是，当时，由于，因此是正常积分。

二、两个及两个以上函数反常积分的收敛判别法

定理1 （积分第二中值定理） 设f（x）在上可积分，在上单调，则存在，使得。

我们这里只对在上连续在上单调且在上可积分的情况下加以证明。

记，则在连续，且。由于在上连续，于是是在上的一个原函数，利用分部积分法，上试又断的第一项，而第二项中，由于单调，因此 保持定号，由积分第一中值定理，存在 ，使得

于是

。

注 在上面的定理假设下，还有如下结论：

（1）若在上单调递增，且，则在存在，使得；

（2）若在上单调减少，且，则在存在，使得。

定理2 若以下两个条件满足其中之一，则收敛：

（1）（Abel判别法）收敛，在上单调有界。

（2）（Dirichlet判别法）在上有界，在上单调且。

证 设 是任意给定正数。

（1）若Abel判别法条件满足，记G是在的一个上界，因为收敛，由Cauchy收敛原理，存在，使得对任意，有。

由积分第二中值定理，

。

（2）若Dirichlet判别法条件满足，记M是在的一个上界。此时对于任意显然有。因为，所以存在，当时，有。于是对于任意，

。

所以无论哪个判别方法条件满足，由Cauchy收敛原理，都有收敛的结论。这两个判别法有时也可以统称为A-D判别法。

例3 讨论的敛散性。

解 显然有界，在上单调且，由Dirichlet判别法，收敛。但在，有，因收敛而发散，所以发散，由此比较发散。

因此条件收敛。

练4 讨论的敛散性。

解 由上边例子3收敛，而在上单调有界，由Abel判别法，收敛。

当时，有，由此比较判别法发散，可知非绝对收敛。

因此条件收敛。

三、结语

在判别反常积分敛散性时首先要明确函数积分类型，然后选取相应的定理来证明，常用的证明方法就是比较判别法和A-D判别法，如果没有区分好积分类型就盲目的证明既浪费时间又浪费精力。

参考文献：

[1]华东师范数学系. 数学分析上[M]. 北京：高等教育出版社，2001.

[2] 谢惠民，珲自求.数学分析习题课讲义[M]. 北京：高等教育出版社，2003.

[3]张志军. 数学分析中的一些新思想与新方法[M]. 兰州：兰州大学出版社.1998.

[4]郭才顺，黄绍斌. 正函数广义积分收斂性的连个判别法[J]. 南昌水专学报，2004，23（4）：32—34.

[5]华东师范数学系. 数学分析上[M]. 北京：高等教育出版社，1991.

[6]周家云.数学分析方法[M].济南：山东教育出版社.1991.

[7]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

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