泰勒公式与研究型教学

摘 要：研究型教学是新近发展起来的一种新的教学理念。文章以数学分析课程中重要的泰勒公式教学为例，探讨了研究型教学在数学基础课中的具体实现。文章以计算的观点，展现了在现实的教学中从几个常见的极限和近似计算公式出发，深入追寻这些熟识的结果的意义和联系，进而提出和解决更一般的问题，最终导出泰勒公式的过程。这样的教学过程也是充分贴近历史发展的本来面貌的。

关键词：研究型教学 泰勒公式 极限 指数函数

中图分类号：O156 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）08（b）-0188-02

研究型教学是一种针对传统的讲授式教学提出的新的教学模式。在讲授式教学中，教师是教学活动的主体和支配者，内容和方式均由教师决定。学生处于被动接受的地位，他们完全可以没有对知识的见解，全部学习任务就是记住老师讲授的内容并在考试中将其正确复述。这样的教学方式虽然可以使教师传递更大的信息量给学生，但是严重打击了学生对知识的兴趣及学习的热情。当今时代，仅仅通过接受高等教育获得知识对于现代大学生来说是远远不够的，他们不仅要有获得知识的能力，更要有发现和创造知识的能力。因此，研究型教学应运而生了[1～2]。

研究型教学是指教师以问题研究的形式组织教学，学生在研究中获得知识和研究方法的教学模式。教学过程中渗入了科学研究的各个元素：科学精神、知识水平、科学素养、科学思维、洞察能力、科学道德、评价能力、批评精神、合作精神、敬业精神、严谨作风等[3]。

区别于讲授式教学对知识本身的获得，研究型教学更注重对知识发现或再发现的过程。教学目的不仅仅是使学生获得知识，更重要的是培养学生的科研素养及学生对知识的渴求和兴趣。

在经典的基础学科中，具体实践研究型教学并不容易。数学分析是数学专业的重要基础课之一，其主体是讲解经典微积分理论。在这样的课程中，实践研究型教学需要教师更灵活地使用已有的教学资料，通过“提出问题—特例实验—归纳猜想—证明结论—建立定理—提出新问题”的模式组织教学，引导学生自主实现“发现问题—解决问题”的研究过程。在此过程中，学生首先看到的不再是定理内容，而是从实际问题引申出的数学问题，知识获得了它应有的背景，很多神奇的证明也获得了应有的根基。学生在获得知识的同时也收获了研究的经历，更有可能从知识的被动接受者转变为知识的主动发现者或再发现者。

本文以泰勒公式的教学为例，探讨经典知识的研究型教学的具体实践。我们从几个常见的极限和近似计算公式出发，追寻这些熟识的结果的意义和联系，进而提出和解决更一般的问题，最终导致泰勒公式的建立。

1 源起

在数学分析及微积分教材中，几乎都有如下近似计算公式[4]：

而且，是可以随便指定的。

在教学中，许多耳熟能详的简单结论是可以再利用的。这里，利用极限可以把一个近似计算问题的近似度不断提高。

2 反思

得到（7）与（8）之后，反思一下是有益的。首先，（7）是一个极限式！也就是说，这里的等号并非相等，而且由此派生出的（8）只能在的绝对值远远小于的时候才成立。那我们能否在任何情况下都找到与多项式函数的真实差距呢？注意，这里代表一个极限过程，而我们需要的是一个确定的表达式或者什么别的东西。总之，我们需要找到差

的大小。一个大概可以与之相比的量是。引入函数

与

对函数与在区间（或者）上反复使用柯西中值定理得到：

这里（或者）。这样我们实际上证明了一个重要的公式，

（9）

是任意自然数，而则介于与之间。这就是指数函数的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式。

由于

因此，理论上我们得到一个可以计算的值的计算公式，并可以确定该计算的精确度。

在教学中，对问题与结论的反思是有益的。深入分析可以看到问题与定理的本质，并进一步提出新问题。在研究型教学中，能够提出新问题是其取得成功的基础。

3 推广

推广结论是数学中常做的研究工作。得到指数函数的麦克劳林公式后，思考其它函数，如三角函数、反三角函数、对数函数等是否也有各自的麦克劳林公式呢？

设是一个初等函数，我们可以先假定它具有一切我们所需要的良好性质。先类比计算在时，的近似值。（2）式启发我们去计算与的比值的极限，得到

于是，得到第一组公式

进一步，（3）又引导我们去计算极限

因此，得到并证明（8）式的推广

带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式 设是定义在的某邻域内的函数，且在点有阶导数，那么一定有：

（10）

证明：对下面极限式使用次洛必塔法则及一次导数定义，得到：

…

现在我们可以急切地写出并证明（8）式的推广

带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式 设是定义在的某邻域内的函数，且在该邻域内有阶导数，那么对该邻域中的任意一定有：

其中介于0与之间。

证明：引入辅助函数

以及

在区间（或者）上，有阶连续导数，且

.

对函数连续使用柯西中值定理得到：

至此，我们已经得到了函数的麦克劳林公式，一个简单的变量代换替换为就可以使我们得到重要的泰勒定理。

（1）带有皮亚诺型余项的泰勒公式。设是定义在的某邻域内的函数，且在点有阶导数，那么在该邻域内有：

（2）带有拉格朗日型余项的泰勒公式。设是定义在的某邻域内的函数，且在该邻域内有阶导数，那么对该邻域中的任意一定有：

其中介于与之间。

在教学中，由于与处于完全相同的地位，因此把指数函数的麦克劳林公式的内容及证明推广到一般情况，进一步得到泰勒公式是顺理成章的事情了。学生几乎可以自己建立定理，并完成整个证明，他们甚至可以发现只要把换成，并对加一些相应的限制条件就可以了，而这是他们事先所不可想象的。

4 历史[5～6]

17世纪末，航海、天文学、地理学等学科的发展要求更精确地计算三角函数、对数函数等函数的数值。格雷高里、牛顿等利用差分法对此问题进行了深入研究。泰勒公式正是在这样的背景之下产生的。

泰勒公式是Brook Taylor（1685-1731） 于1712指出并在他1715年出版的《增量法及其逆》中给出的。泰勒最初给出的是函数展开的无穷级数形式，即我们所知的泰勒级数。带有余项形式的泰勒公式是拉格朗日在1797年出版的《解析函数论》中首次给出的，他还发现了泰勒公式对于微分学的重要意义。首个较严密地证明这个公式的人是另一位分析学大师——柯西。

历史有时是令人费解的。麦克劳林（Colin Maclaurin，1698-1746）利用待定系数法得到了麦克劳林公式，虽然他指出这只是泰勒公式的一个特例，也许是出于对这一公式记忆起来更为简便的褒奖，后人把这一特例归功于麦克劳林。

而泰勒公式并不完美。除了难以确定的余项，其它项简洁、优美。设想一下，如果泰勒公式中那些优美的项无限进行下去，余项会因为找不到自己的位置而被迫消失，于是

这正是泰勒当年得到的结果的现代形式！

5 讨论

在经典理论课程中实现研究性教学并不容易。学生更多的是体验研究的经历而非解决问题。事实上，解决每一个习题都是在做一个研究工作，但这不是研究型教学所要追求的。

本文讨论的以研究型教学的思路引入泰勒公式的方式是自然的，这里教师只需要向学生展示两个简单的公式（1）、（2），并提出两个简单问题。

（1）如何计算指数函数的近似值？

（2）如何把指数函数算得更准确？

剩下的事情就是让学生去展开想象，教师只需要参与学生的研究和讨论。归纳和类比的方法在证明中得到充分的体现，提问和证明可以很好的融为一体。

参考文献

[1]杨小远，李尚志，孙玉泉，等.《工科数学分析》开放式教学探讨[J].大学数学，2011，27（3）：1-6.

[2]向昭银，黄廷祝.研究型教学融入数学分析习题课的教学原则[J].大学数学，2012，28（4）：151-154.

[3]卢德馨，研究型教学.

[4]华东师范大学数学系编.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[5]（美）M.Kline.古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社，1986.

[6]龚升，林立军.简明微积分发展史[M].长沙：湖南教育出版社，2005.

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