浅析导数在解决积分函数性质中的应用

摘要：论文介绍了导数在解决积分函数性质中的应用，用求导的方法对单调性、有界性问题、最值性问题、零点定理问题、含参量积分的待定型极限的计算等一些函数基本性质进行探究总结。

关键词：函数 导数 积分 应用

微分与积分是数学领域中两大极为重要的概念，含参量积分与自从被提出就引起了许多学者的研究兴趣，到现在已经有了深入的发展。

1 单调性

例：设f（x）在[0，∞]上单调递增，且只有有限之间断点，则这函数在[0，∞]，上（ ）

A 连续单调 B 连续但不单调 C 单调但不连续 D 既不连续又不单调

分析：用特殊值法解，令在0≤x≤1时在X>1时，则

（1）

注：（1）式中当都是单调的，且若

所以及

类型的函数，并且满足可微条件的积分函数，均可采用求导使积分号去掉，单纯的函数问题就比较简单了。

2 有界性问题

例：求证（n为正整数）在x≥0的最大值不超过。

证明：因为所以当00时

故对一切而

所以当x≥0时，从而得证。

3 最值性问题

例：设f（x）在x≥1上是一正值的连续函数，试求

的最小值。

解：因为所以

令因为当x≥1时，。由于得到

故，的最小值。

4 零点定理问题

例：函数在[a，b]上连续，又证明

（1） （2）在[a，b]中有且只有一个实根。

证明：（1）因为在[a，b]上连续，F（x）在[a，b]上可微，且

（2）由（1）可知所以F（x）在[a，b]上单调递增，因为对一切所以

。

由零点定理及单调性可知：在[a，b]中有且只有一个实根。

5 含参量积分的待定型极限的计算

待定型极限的计算中，由变限积分与含参量积分中，一般用洛必達法则，把含参量积分部分作为分子或者分母，求导去掉积分号，然后求极限。

例：求证。

解：由洛必达法则

例：求极限

解：

原式=。

结束语：

导数在解决积分问题时有广泛的应用，具有很高的研究价值，虽然对导数与积分的研究有很久的历史，但它们之间的联系在解题中的应用尚未完全发现，这也将激励数学家不断探索。

参考文献：

[1] 江兆林等编.数学分析习题课讲义[M].南海出版社.1995

[2] 陈纪修，於崇华，金路主编，数学分析[M].高等教育出版社出版. 2004

[3] 阿黑波夫等著.王坤扬译.数学分析讲义[M].高等教育出版社出版. 2006

作者简介：潘学功（1967—），男，河北滦南人，河北软件职业技术学院副教授，硕士，从事学生管理和高等数学、统计学与信息技术的教学与研究。

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