基于一个初等不等式的思考

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【摘要】本文通过一个初等不等式，从数学学习与数学研究的角度，用具体材料说明在大学数学基础课程和现代数学研究成果中，探讨了怎样开展研究性教学.

【关键词】Lagrange乘数法；样本三阶中心矩；超曲面；研究性教学

【中图分类号】O151.21，G642.0

科技的飞速发展，对高等教育提出了新的课题：如何培养出合格的人才？高等学校正倡导开展研究性教学.我们迫切需要了解什么是研究性教学，怎样开展研究性教学.本文以一个初等不等式的教学为例，探讨如何结合大学数学基础课程和自身的科学研究的心得，更好地服务于课堂教学.

1.初等不等式的描述

巴西数学家M.do Carmo等人在文献[1]中给出了如下结果：

（3）式中取到等号情形的刻画如下：左边的等号情形成立当且仅当有（n-1）个ai非负且相等，右边的等号情形成立当且仅当有（n-1）个ai非正且相等.

2.初等不等式与数学分析课程

该不等式属于条件不等式.从数学分析课程来说，利用Lagrange乘数法容易得到（3）以及等号情形的刻画.这里运用较高的观点得到了一个看上去很初等的结果.正如F.克莱茵所说：“有许多初等数学的现象只有在非初等的理论结构内才能深刻地理解.”在教学时，如果能够做到深入浅出，将有助于激发学生对数学的兴趣和态度.

3.初等不等式与概率论与数理统计课程

在概率论与数理统计课程中，学生学习了样本均值、样本方差、样本三阶中心矩等概念.它们之间是否有联系呢？结合定理1，我们可以给出解答： 如果样本均值为零（即（1）式成立），样本方差为定值a2（即（2）式成立），那么由（3）得到，样本三阶中心矩有上界和下界，并且只与样本容量n和a2有关，同时达到上下界有具体的刻画：有n-1个等值的样本.在教学中，如果能将不同的基础课程内容贯穿起来，这有助于培养学生发现问题、运用已学知识解决问题的能力，且能得到构思巧妙的方法.

4.初等不等式与现代微分几何

在现代数学中，定理1已经被应用到现代微分几何的研究领域：1974年，Okumura借助于定理1和Simon型方程刻画totally umbilical 超曲面；1994年，H.Alencar，M.do Carmo运用不等式（3）及其等号情形的刻画研究球面中的具有紧常平均曲率的超曲面，得到了关于第二基本形式和平均曲率的间隙定理.1996年，清华大学李海中教授探讨空间形式中具有紧常纯量曲率的超曲面，应用不等式（3）及其等号情形描述和特殊的自伴算子给出了的刚性定理.2013年新加坡国立大学徐兴旺教授等借助于不等式（3）右边的等号情形，得到了Rn+1中完备非紧的具有零Ricci曲率的超曲面有Bernstein型定理.教师要选择合适的教学内容，衔接好教学知识和最新科学研究成果，让学生从中了解适当的前沿成果，同时获得思想和方法的启迪.激发学生对现代数学学习和研究的兴趣.

5.总 结

大学数学基础课程与现代数学的前沿成果是一个整体，大学数学的研究性教学，可以交错各门基础课程中的内容，从中发现问题并给出解决问题的方法；也可以将科学研究的最新成果引入基础课程中，帮助教师充实课堂教学内容，同时让学生粗略地了解现代数学的发展.

致谢： 本文得到国家自然科学基金项目（11471145）和“青蓝工程”资助.

【参考文献】

[1]H.Alencar，M.do Carmo.Hypersurfaces with constant mean curvature in spheres.Proceedings of the Americian Mathematical Society，120（4）（1994）1223-1229.

[2]F.克莱茵.高观点下的初等数学[M].舒湘芹等译.上海：复旦大学出版社，2008.

[3]M.Okumura.Hypersurfaces and s pinching problem on the second fundamental tensor.Amer.J.Math.，96（1）（1974）207-213.

[4]H.Li.Hypersurfaces with constant scalar curvature in space forms.Math.Ann.，305（4）（1996）207-213.

[5]Y.Li，X.Xu，J.Zhou.The complete hypersurfaces with zero scalar curvature in Rn+1.Ann.Glob.Anal.Geom.44（4）（2013）401-416.

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