理工融合,激发兴趣模块化微分方程课程教学实践

摘 要 以兴趣为先导，融合理工学科背景，模块化解析微分方程课程教学实践；凸显微分方程课程教学：理科夯实基础理论；工科创新运用数理方法。

关键词 微分方程 教学方法 教学实践

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2018.01.035

Integrate Science and Engineering， Stimulate Interest， Modular

Differential Equation Teaching Practice

XIANG Ni， CHEN Li， MAO Jing

（Faculty of Mathematics and Statistics， Hubei University， Wuhan， Hubei 430062）

Abstract Taking interests as the guide， integrating the background of science and engineering， modular teaching of differential equation courses； highlight the differential equations teaching： science compaction basic theory； engineering innovation using mathematical methods.

Keywords differential equations； teaching methods； teaching practice

1 微分方程的课程特点和现状

微分方程是现代数学的一个重要分支，它的任务是建立数学模型，寻求各种求解方法、进行理论分析，从而达到解决现实问题的目的。作为数学专业的一门主干课程，课程教学的宗旨在于培养学生的抽象思维能力，逻辑推理能力以及数学计算能力，并为后续课程的学习打下基础。随着教学实践的深入研究，现行教学体系已呈现诸多弊端。[1]

（1）教学内容求多：在湖北大学数学與应用数学专业，微分方程本科阶段开设了“常微分方程”和“偏微分方程”两门微分方程的课程，分别安排在大学二年级的专业必修课和三年级专业选修课。常微分方程的教学内容包含初等积分法、存在唯一性定理、高阶方程、常微分方程组以及非线性方程的稳定性等内容；偏微分方程其主要核心内容是三种方程四种方法。教学内容繁多，难度大，内容处理精细且抽象。我们对课程内容进行优化处理，在大纲基本要求下，把解对初值的连续依赖性、可微性；贝塞尔方程；Laplace变换；偏微分方程的定性理论分析[2]中的内容作为选学内容，在课堂上教师只作简单的指导，有兴趣的学生利用讨论班的形式进行讲解。由于学校教学课时的调整，微分方程授课总课时大大减少，使得必要的知识点难以充分展开，在新形势下有待于对微分方程的教学模式以及学生的学习方式做进一步的实践探讨。

（2）工科内容理科化：一方面严密的公式化推导虽然让学生领会到数学的技巧，但缺乏对所学内容物理背景的理解；另一方面虽然学生学了很多的理论知识但是遇到实际问题依然无从下手。面对新世纪人才培养的要求，我国高等学校中的微分方程教学将面临严峻的挑战，新的形势和面临的任务需要对这些课程的教学进行深入改革，以适应复合型人才培养的需求。我校微分方程这门课程不仅在数学系开设，它也进入了电子信息工程，材料科学工程等工科专业的课程体系，但缺点是理科和工科所开设的课程中学生和教师都缺乏沟通与联系，互相之间没有做到取长补短，没能使理科学院在讲授基础推导的优势以及工科学院在讲授物理背景的强项相互融合，理工科学生在学习上也很少有机会交流学习心得。

（3）学习兴趣缺失：由于微分方程理论知识过多，应用性知识不足，实践活动的欠缺，所学知识脱离现实生活，造成学生学习缺乏目的性，从而导致学习兴趣的缺失。随着科技的进步，微分方程不仅仅局限在描述客观世界中起到关键作用的物理规律，例如流体力学问题中的Navier-stocks方程，用来描述物理中波传播的波动方程，主要由传热和扩散现象导出的热传导方程等。目前其应用领域已延伸到其他学科领域，例如自然科学、工程技术、经济管理、人文社会学等。这门古老而又崭新的应用数学课程，不仅需要学生具有良好的数学基础知识储备，而且要求教师在授课过程中结合多种教学方法，课后训练习题以及实例不断提高课程教学质量，将课堂理论知识融入到交叉学科中解决实际问题。

2 理工融合，模块化教学实践

2.1 顺应创新创业人才培养要求

创新源于思想、观念的升华，取决于实践中科学发现。具体到微分方程课程教学中涉及到：课程内容选择、授课方式的出新、教学手段的直观理性以及课程实践的完善等等。微分方程课程中的概念抽象、公式多、逻辑性强、定理论证烦难，初学者往往不易理解和接受。如何发掘并实现课程教学的创新人才培养途径，湖北大学数学学院微分方程课程教学团队结合国家理工融合战略背景，采用模块化教学实践，融合传统的启发式、发现式教学法，巧妙移植物理背景的直观、生动的特点，从激发学生学习兴趣为依托，较好地完成了该课程在湖北大学的教学，取得了超出预期的效果。

2.2 模块化教学实践

2.2.1 模块化之教学内容分层次

模块化教学：理科侧重理论教学、强调数学分析水平，注重存在唯一性定理、微分方程中定性理论等理论知识的讲解；工科（电类）：有意识地介绍一些利用微分方程建模的实例引导学生领会数学建模的一些基本思想同时指导他们根据建立的模型利用Matlab软件找出问题的解。教学中先给学生播放某无人机模型研发团队制作的演示视频，吸引学生的兴趣，在观看无人机的各种飞行技巧之余，让学生寻找该团队在视频中阐释的各种微分方程（组）模型的用途，使得学生对微分方程的定义更直观，也让他们从实例中了解微分方程的应用价值，体会用数学语言表述科学问题，求解数学问题并用科学语言解释上述问题的过程。

2.2.2 模块化之教学案例（体现微分方程的自然引入）

在教学中注重问题的提出及其背景，穿插相关的历史与人物轶事，活跃课堂气氛，提高学生的学习积极性与热情。偏微分方程的第一堂课上，我们以生活中的偏微分方程为主题制作PPT，利用各种图片、动画事例给学生展示各个领域的微分方程。带领学生体会时下热门的经济学、图像处理等领域出现的微分方程模型。比如在数字图像处理领域，[3]从1895年德国人伦琴发现X射线到通过海底电缆从英国伦敦至美国纽约传输的第一幅数字图像讲起，在微分方程建模基础上，采用压缩技术，将原来需要传输一个星期的过程压缩到了三个小时以内，同时也介绍微分方程在图像去噪、放大、修复、去彩等技术中的应用；在期权定价理论中我们给学生介绍著名的Black-Scholes模型；在介绍热传导方程的推导之前给学生讲傅里叶与《热的解析理论》的故事，介绍他对热传导问题的精湛处理，开创数学物理学的崭新领域。结合团队的科研成果，给学生介绍相关的一些数学模型的推到。

例1[4]讲述最优运输问题的发展简史。介绍1987年法国数学家Brenier在研究流体力学时建立了最优运输问题和Monge-Amp€鑢e方程间的联系，他证明最优映射实质上是某个凸函数（或势函数）的梯度，且满足如下形式：

例2[4]几何光学的光线反射和折射问题中也可以导出Monge-Ampre 型方程，这类问题涉及到反射和折射抛物面形状的设计，具体还可细分为远场和近场光学。光线反射在远场光学中的描述可以认为是一种费用函数为c（x，y）=-log（1-x y）的最优运输问题。光线反射在近场光学中的情况略有不同，以平行光反射问题为例，对应的方程为：

例3[5]超弦理论的紧致化研究中，Candelas， Horowitz， Strominger， Witten构建了极大对称的四维时空M上的度量积，其中M含有10维时空中的6维Calabi-Yau真空。与此同时，Strominger为了达到时空超对称化的目的，提出了Strominger模型。Fu，Yau将Strominger模型转化为如下方程：

在课堂教学模式的选择上，我们采用传统黑板教学+多媒体教学模式相结合的方式进行。根据微分方程内容的特点，分析确定具体内容和实施方案。凡涉及到证明思想、方法等思想深刻的内容仍然用传统教学方法，（如常微分方程的存在唯一性定理的证明）；对于内容相对浅显、学生容易理解的问题，特别是空间图形的演示，充分发挥多媒体课件的作用，既能在较短的时间内既讲清思路和方法，也增加信息量，提高教学效率。

2.2.3 模块化之教学实践（实验室教学一块：程序实现——工科必要的内容）

由于微分方程课程本身特点，学生学起来比较困难，课程组全体老师公开电话、邮箱、微信或者QQ号，以加强联系。通过这些媒介，我们及时收集反馈信息，了解学生状况。每次课前10分钟先采用多媒体教学模式回顾上节课的核心内容，再解答部分学生问题。每周我们设定固定时间帮助学生解决一周之内所学内容的难疑点。每周课后的答疑及时解决了学生一周之内所学内容的疑难点，为下一步的學习扫清障碍。我们将一些经典的网络教学视频发给学生，帮助他们在课余辅助学习。

因材施教，我们探究和实施了适合学生水平和课程特点的自学讨论式、启发探究式教学法。针对学有余力的学生，将他们吸引到我们所从事的科研课题中来，带领他们参加讨论班，拓宽视野，引导他们阅读外文文献，使他们的科研能力得到初步的训练。教师精细设计课程内容载体，实行以主题发言为主线的模式。为形成研究讨论问题的氛围，在授课班级内将学生分成若干个学习讨论小组，为学生创造自主的创新性学习最适合的环境。加强数学实验、数学建模等实践环节的教学与指导，鼓励兴趣小组的学生积极参加各类数学竞赛、全国大学生数学建模比赛等活动，促使他们在实践中体会微分方程这一贴切的数学语言在描述科学结论时发挥的作用和魅力。

为改变学生只重视考试，临考之前“抱佛脚”的习惯，我们加强平时成绩的考核比重，将以往4：6分的成绩比例调整为5：5分，使得平时成绩的比例提升，促使学生积极参与到课堂教学中过来。我们将数学建模竞赛中与微分方程相关的题目进行总结归纳，挑选出合适的题目化简整合之后作为讨论课的主题，让学生们进行讲解并形成小论文，而讨论课上的表现和课后小论文都成为平时成绩的加分环节；在期末考试中我们增加面试环节，不仅测试学生对知识点的把握情况，而且考查其综合素质和创新能力。[6]

例4 腐败人数的预测模型

现如今，我们常常能看到一些政府官员因腐败而落马的报道，随之牵连出大批涉案分子。然而大量被牵连的腐败分子为逃避法律制裁，往往东躲西藏。在已牵连出的腐败分子人数基础上，预测一下总的涉案人数，建立一个牵连出腐败分子人数的预测模型。请给出合乎实际的假设来建立相应的数学模型，并对建立的模型进行理论分析或数值模拟。

例5 偏微分方程的人口模型

人口问题是一个很复杂的生物学和社会学问题。由于资源的有限性，当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长。假定种群的密度在空间分布是不均匀的情形下，高密度的种群将向低密度的种群扩散，即对于一个种群而言，它的位置随时间和空间变化，假设P（x，a，t）表示任意时刻t按年龄a在位置x处人口的分布密度，这样的模型将满足何种偏微分方程？

例6交通十字路口，黄灯设置

为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯。对于一位驶近交叉路口的驾驶员来说，万万不可处于这样的进退两难的境地：要安全停车则离路口太近；要想在红灯亮之前通过路口又觉太远。那么，黄灯应亮多长时间才最为合理呢？

3 结语

在湖北大学《创新思维导向的微分方程课程开放式实践教学体系的研究》教改项目的资助下，微分方程课题组开始对现有课程内容和教学方法进行改革探索，遵循学生的认知规律和能力培养规律，构建课程模块与知识结构，合理安排教学内容，科学设计教学环节，合理分配教学时数，恰当组织教学单元的设计和知识点、技能点的拆分；理论联系实际，合理安排课内讲授与课外辅导，融知识传授、能力培养、素质教育于一体；形成一套适合我院数学专业基础并能综合反映教学理念、教学内容和教学方法的教学方案。

转变传统教学观念：“教师教好”转变为“兴趣至上”；改变教学单纯的书本知识传授的教学理念，将知识传授和学生创新素质培养有机结合起来。实现教学模式从单纯重视知识、技能的传授转向注重学生学习能力、实践能力、创造能力的培养，构建“以学生为主体，激发兴趣，促进学生自主学习”的教学体系。

强化实践教学：以理筑基，理工融合。以工程试验作为科研实践活动为形式的自主学习能力的培养。鼓励学生积极参与大学生创新创业计划，学以致用。提高自主学习能力以及创新实践能力。

基金项目： 湖北大学教学改革项目：创新思维导向的微分方程课程开放式实践教学体系的研究，湖北大学教学改革项目：新形势下研究生几何课程教学探究

参考文献

[1] 汤燕斌，吴娥子.应用偏微分方程课程教学改革探讨[J].大学数学，2013.29（3）：1-4.

[2] 王明新.偏微分方程基本理论（1版）[M].北京：科学出版社，2009.

[3] Rafael C. Gonzalez， Richard E. Woods. 数字图像处理（3版）[M].北京：电子工业出版社，2015.

[4] Y.Brenier. Decomposition polaire et rearrangement monotone des champs de Vecteurs[J].（French） C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math.，1987.305（1）：805-808.

[5] J.X.Fu， S.T.Yau. The theory of superstring with flux on non Khler manifolds and complex Monge-Ampre equation[J].J. Diff.Geom.，2008.78（3）：369-428.

[6] 崔娜，沈启霞.常微分方程在数学建模中的应用[J].应用技术研究，2011.4（1）：42-44.

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