高等数学教学中创新思维的培养

【摘 要】在高等数学教学过程中，应结合教学内容，适时、恰当地培养学生的归纳、类比、发散等多种创新思维.可增强学生对所学知识的理解和掌握，激发学生的学习兴趣，使教学更具有生动性和趣味性，对提高教学效果有着重要的作用.本文对高等数学的教与学提供了一定的参考意义.

【关键词】高等数学;创新思维;学习兴趣

Cultivation of Innovative Thinking in the Higher Mathematics Teaching

YANG Hai-xia

（Normal College of Lanzhou University of Arts and Science， Lanzhou Gansu 730000，China）

【Abstract】In the process of higher mathematics teaching， Inductive thinking， analogical thinking， divergent thinking  and other innovative thinking should be cultivated timely and properly according to the needs of teaching contents .It can strengthen students’ understanding and mastering of knowledge. It also can stimulate students’ learning interest and make the teaching more vivid and interesting. The cultivation of innovative thinking plays an important role in improving the teaching effect. The present paper provides reference significance how to teach and study advanced mathematics.

【Key words】Higher mathematics; Innovative thinking; Learning interest

0 引言

高等数学是理工类的大学生必修的基础课，也是学习其他课程的一门工具，它扮演着越来越重要的角色.但大部分学生认为高等数学抽象乏味、枯燥难学，学习的主动性不高.为了搞好高等数学的教学，进一步激发学生的学习兴趣，教学不但应该传授数学知识，尤其要结合教学内容，适时地培养学生的创新思维和创造精神，提高高等数学教学的趣味性，思想性，培养学习的主动性，让数学学习变得简单起来.本文将结合高数数学的有关内容，从五个方面阐述如何在教学中培养学生的创新思维.

1 归纳思维

在高等数学中，许多重要结果的得出，都可以用到归纳思维，通过这些内容的学习和体验，可以逐步培养渗透学生的归纳思维.

例1 求某一函数的高阶导数时，通常的是求出其一阶、二阶（有时还要求出其三阶、四阶）导数，再归纳出n阶导数的表达式.

如：求余弦函数y==cosx的n阶导数.

解  因为y′=-sinx=cos（x+■），

y″=-sin（x+■）=cos（x+■+■）=cos（x+2×■），

y′″=-sin（x+2×■）=cos（x+3×■），

以此类推，可以得到（cosx）（n）=cos（x+n×■）.

例2 由两个可导函数的求导法则（uv）′=u′v+uv′可归纳出任意有限个函数之积的法则.如：（u1u2…un）′=u1′u2u3…un+u1u2′u3…un+…+u1u2…un-1un′.

从一阶、二阶常系数线性齐次微分方程通解的结构及其求解方法，可以归纳出n阶常系数线性齐次方程通解的结构及其求解方法[1]; 多元函数求条件极值的拉格朗日乘数法，从两个自变量、一个约束条件，推广到n个自变量、m个约束条件，也是用归纳的方法得出的[2-3]. 著名的哥德巴赫猜想，费马猜想，素数定理等[4-5]都是通过大量观察、计算……，然后归纳得到的.

2 类比思维

类比就是由此去发现彼（或由彼去发现此）.在教学过程中，将新内容与已经熟悉的知识进行类比讲解，不但使学生易于接受、理解、掌握新知识，更重要的是可以培养、锻炼学生的类比思维，有利于开发他们的创造力.

例3 牛顿二项式展开公式和莱布尼茨公式的类比学习

牛顿二项式展开公式：

（u+v）1=u+v

（u+v）2=u2+2uv+v2

（u+v）3=u3+3u2v+3uv2+v3

……

（u+v）n=■C■■un-kvk

莱布尼茨公式：

（uv）′=u′v+uv′

（uv）″=u″+2u′v′+v″

（uv）′″=u′″+3u″v′+3u′v″+v′″

……

（uv）n=■C■■u（n-k）v（k）

这些公式比较繁琐，单纯记忆起来不方便，但通过将两个公式类比，发现将第一个公式中u+v换成uv，将n次幂换成n阶导数（零阶导数理解为函数本身），就成了第二个公式，就易于理解和记忆.

例4 立体几何问题与平面几何问题的类比学习

在平面解析几何中，两点的距离公式是：■

在空间解析几何中，两点的距离公式是：■

在平面解析几何中圆的方程是：（x-a）2+（y-b）2=R2

在空间解析几何中球面的方程是：（x-a）2+（y-b）2+（z-c）2=R2

在平面解析几何中直线的截距式是：■+■=1

在空间解析几何中平面的截距式是：■+■+■=1

在学习多元函数的微积分学时，应与已经学习过的一元函数的微积分相应的概念、理论、方法进行类比学习.

在学完了积分学后应将定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分进行类比，包括它们的定义、性质、计算方法、物理意义等等.通过类比学习，可以达到事半功倍的教学效果.

3 发散思维

在高等数学教学中， 通过多种思路培养、训练学生的更广阔的思维，将所学知识能够活学活用，进一步开拓知识视野，提高解决问题的能力.

3.1 一题多解

例5 计算■■dx

（用 第一类换元积分法）

解法1 I=■■dx

=■x2d■=■（x2+1-1）d■

=■（x2+1）d■-■d■

=■■（x2-2）+C

解法2 I=■■dx=■■■d（x2）

=■■■d（1+x2）

=■■（x2-2）+C=■（1+x2）■-（1+x2）■

解法3 I=■■dx=■■dx

=■■dx

=■x■dx-■■dx

=■■（x2-2）+C

（用第二类换元积分法）

解法4 令x=tant

I=■■·sec2tdt=■■dt

=■■d（cost）=-■+■■+C

=-■+■（1+x2）■+C

=■■（x2-2）+C

解法5 令t=■

I=■■dx=■■tdt=■（t2-1）dt

=■t3-t+C

=■■（x2-2）+C

（用分部积分法和第一类换元积分法）

解法6 I=■■dx=■■dx

=■■■d（■）

=■[■■-■■d（■）]

=-■[（1-x2）■+■■■d（1+x2）]

=■■（x2-2）+C

解法7 I=■■dx=■x2d（■）

=x2■-■■d（1+x2）

=x2■-■（1+x2）■+C

=■■（x2-2）+C

等等.

这道题目的计算过程中，使用了多种计算不定积分的方法，可以引导学生将所学知识活学活用，让同学们明白绝对不能以为获得一种方法以后，作业就完成了，问题就解决了，或把另外的解法当作浪费自己的时间.

例6 求极限■■

（可以用洛必达法则;用等价无穷小的替换定理;用重要的极限■■=1;用三角公式变形;等等.）

3.2 一题多变

例7 求微分方程x2dx=y2dx+2xydy的通解

（1）变形为■=■

它是齐次微分方程，用齐次微分方程的解法求出其通解;

（2）变形为（x2-y2）dx-2xydy=0

由于■=■=-2y

所以它是全微分方程，可用全微分方程的解法求出其通解;

（3）变形为■+■y=■■

它就是伯努利方程，设z=y2先化为线性微分方程，然后用线性微分方程的解法求出其通解[6].

4 逆向思维

是从已有的思路的反方向去思考问题. 在高数的教学过程中，应渗透这种思维的培养，它可以开阔解决某些难题的思路，对解放思想、发现新生事物、开辟新的方向，往往能起到柳暗花明又一村的作用，可以更加激发学习数学的兴趣.

4.1 若遇到某些问题顺推不行，可以考虑逆推

例8 求方程ydx+（x-lny）dy=0的通解

解  利用逆向思维，将y视为自变量，x视为因变量 ，解题过程就会变得很容易.方程化为如下的线性方程：

■+■x=■

利用线性微分方程的通解公式很容易求出其通解：x=lny-1+■

4.2 若遇到某些问题直接解决困难，想法间接解决

例9 证明■■=0

解 构造级数■■，

由于■■=■■=■<1，故知级数■■收敛，

而级数收敛的必要条件是通项趋向于零，于是■un=■■=0

例10 将y=ln（1+x）展成x的幂级数.

解 若用直接展开法将函数展开成幂级数，展开过程中计算f（n）（x）的工作量大，还得讨论余项Rn（x）.间接方法，就变得很简便

因为■=■（-1）nxn，|x|<1，

ln（1+x）=■（ln（1+x））′dx=■■dx=■■（-1）nxndx

=■（-1）n■xndx=■（-1）n■xn+1，|x|<1

从而得ln（1+x）=■（-1）n-1■xn，x∈（-1，1]

5 合理的猜想

大科学家牛顿曾经说过：“没有大胆的猜想，就作不出大胆的发现.” 纵观数学发展史，可以说，没有猜想就没有数学，更没有数学的发展.例如，著名的哥德巴赫猜想，费马猜想等.因此，在数学教学中应结合教材重视培养学生数学猜想的能力.

例如，在学习复合函数的求导法则时，利用已经学过的导数的含义（变化率），引导学生合理的猜想出复合函数的求导法则.

例11 若y=f（u），u=φ（x）都是可导函数，求■.

讲解过程可以这样设计：假设■=2，则表示u相对于x的变化率是2，即x每增加1，u将增加2.

又设■=3，则表示y相对于u的变化率是3，即u每增加1，y将增加3.

现在问当x每增加1时，y应该增加多少？（■=？）

答案很显然，学生会发现y应该增加3×2=6，（即■=3×2=6），从而可以猜想出求导法则：■=■·■.然后再从理论上得以证明.

通过大胆的猜想会给学生带来发现和成功的喜悦，不但可以牢牢记住这些内容，也逐渐提高数学猜想的能力，激发学习数学猜想的乐趣.

总之，在高等数学教学中渗透创新思维的培养， 帮助学生在学习、研究、应用数学的过程中让数学变得活起来，更加深刻理解数学的内容、思想、方法及其应用， 增强学习数学的热情，从而提高教学效果，逐步培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.著名教育家苏霍姆林斯基说：“思维就像一棵花，它是逐渐地积累生命汁液的，只要我们用这种汁液浇灌它的根，让它受到阳光照射，它的花朵就会绽开.”在数学教学中，创新思维必不可少.

【参考文献】

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].5版.北京：高等教育出版社，2004.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].3版.北京：高等教育出版社，2001.

[3]刘玉琏.数学分析[M].2版.北京：高等教育出版社，1994.

[4]王树禾.数学思想史[M].北京：国防工业出版社，2003.

[5]朱家生.数学史[M].北京：高等教育出版社，2004.

[6]李心灿，等.高等数学一题多解200例选编[M].北京：机械工业出版社，2002.

[责任编辑：杨玉洁]

※基金项目：国家自然科学基金（41272147）。

作者简介：杨海霞（1972—），女，甘肃天水人，硕士，兰州文理学院，讲师，主要从事生物数学研究。

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