浅谈微积分在初等数学中的应用

摘要：我们用高等数学的思想、观点、原理和方式方法去认识、理解和解决初等数学中存在的问题，使我们可以进一步地充实初等数学的某些理论的论述深度及内涵，以及可以进一步熟练掌握用初等方法解决问题的技能。微积分是高等数学的重要组成部份，又是初等数学与高等数学相衔接的具体内容的一部分，所以说本文将从微积分的角度简单地论述高等数学知识对初等数学的指导作用。微积分是数学中的重要组成部分，是研究函数的性质，证明不等式，探求函数的极值、最值，求曲线的斜率和解决一些物理问题的有力工具。本文通过对微分在解决一些初等函数单调性、求曲线的切线以及几个初等数学命题的积分证明等问题的讨论，为我们解决一些初等数学问题提供了一些新的思想，使微积分对初等数学的指导作用得到具体体现。

关键词：微分；积分；初等数学；应用

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）44-0209-04

1 引言

高等数学是在初等数学基础上经过一系列数学概念、原理、方法和思想的演变，最终成为一门高度抽象、逻辑严密的科学体系。用高等数学的思想、观点、原理和方法去认识、理解和解决初等数学问题，可以进一步地充实初等数学的某些理论的论述深度，以及进一步熟练地掌握用初等方法解决问题的技能。微积分是高等数学的重要组成部份，又是初等数学与高等数学相衔接的具体内容之一，所以本文将从微积分的角度简单地论述高等数学知识对初等数学的指导作用。微积分是数学中的重要组成部分，是研究函数的性质，证明不等式，探求函数的极值、最值，求曲线的斜率和解决一些物理问题的有力工具。微积分的应用为解决数学问题提供了新的思路，新的方法和新的途径，可以说微积分是打开数学知识大门的一把钥匙。

2 微积分的应用

2.1微积分的介绍

将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。它既是一门基础学科，又是一门应用广泛的学科。要想掌握高等数学的任何一个分支不熟悉微积分是不可能的，因此，研究微积分的一些性质及应用具有很大的必要性。

2.1.1微积分的思想。微积分成为一门学科是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了.公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287～前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。极限理论作为微积分的基础早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，著有“一尺之捶，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。他在1615年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形，圆的面积就是无穷多个三角形面积之和，这些都可视为典型极限思想的佳作。意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》中，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。

2.1.2微积分的创立。由于17世纪工业革命的直接推动，英国科学家牛顿和德国科学家莱布尼茨在许多数学家工作的基础上创立了微积分，他们为变量建立了一种新型的行之有效的运算规则，去描述因变量在一个短暂瞬间相对于自变量的变化率，以及在自变量的某个变化过程中因变量作用的整体积累，前者称为微商，后者称为积分，统称微积分。此后，数学的发展逐渐出现了一日千里之势，形成了内容丰富的高等代数、高等几何、与数学分析三大分支，在此基础上，还出现了一些其他分支。

2.2微分的应用

2.2.1用微分法判断初等函数的单调性。用初等方法研究初等函数的单调性，多是用定义或从函数图像加以判断的。但对于一些复杂的函数，用定义来判断其单调性，并不是一件容易的事；而对于一些用初等方法画不出图像的函数，要用函数图像研究它的单调性，更加无从谈起。而微分中值定理却给出了一个研究函数单调性的高等方法。有了微分中值定理对初等函数单调性的研究，求可导函数的单调区间，便可以通过求导的方法来实现，与初等数学方法比较，这种方法既显得高出一等，又可以解决一些用初等数学的方法无法解决的较为复杂的函数单调性问题。

（1）函数连续的定义。

定义：若函数fx在x■的附近包括x■点本身有定义，并且■ f （x）=f （x■），则称f（x）在x■连续，或称x■点是fx的连续点。

（2）导数的定义。

定义：设有函数y=f（x），在x■附近有定义，对应于自变量的任一改变量Δx，函数的改变量为：

Δy=f（x■+Δx）-f （x■），此时，如果极限：■■=

■■存在，则极限值就称为函数在x■的导数。记为：f"（x■）。

（3）导数的几何意义。

导数的几何意义就是曲线y=f（x）在点x的切线斜率。因为f "（x■）表示曲线y=f（x）在x■点的切线斜率，故运用上述切线的一般定义和结论，可以处理与切线有关的许多问题。

（4）拉格朗日中值定理。

定理：若函数f（x）满足：（i）在[a，b]连续；（ii）在

（a，b）可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使：f"（ξ）=■。

（5）拉格朗日中值定理之推论。

推论：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，如果对于任意的x∈（a，b）有f "（x■）>0，则f（x）在（a，b）内是单调增函数；如果对于任意的x∈（a，b），有f"（x■）<0，则f （x■）在（a，b）内是单调减函数。

2.2.2用微分法求曲线的切线。在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。例如，圆的切线定义为与圆只有一个交点的直线，但把这一定义用到其他曲线上就不行了。如直线y=0与抛物线y=x■2只有一个交点，y=0是y=x■2的切线，但x=0与抛物线y=x■2也只有一个交点，但x=0却不是y=x■2的切线，由此可见，用“一个交点”来定义切线并不能用于所有曲线。而学了微积分的知识后，就可以给出曲线切线的一般定义了。

2.2.3用微分法求最值和不等式。函数的最值和极值不仅在实际问题中占有重要的地位，对于证明不等式来说也是一个常用而有效的证明方法。函数的最值和极值证明不等式适用在某区间上成立的不等式，与利用函数的单调性证明不等式相似，但二者又有明显的不同，不同处在于对所作的辅助函数F（x）的处理上：利用函数的单调性的证明方法比较的是函数的端点值，而该方法是要考虑函数在区间上的最值和极值，需利用最值定理（若函数y=f（x）在[a，b]上连续，则函数必在该闭区间上取得最大值和最小值，当函数取得最小值m时，对任意的x∈[a，b]有f（x）≥m，而当函数取得最大值M时，对任意的x∈[a，b]有f（x）≤M）对最值进行判断，从而得出证明结论。

证明步骤为：

（1）通过恒等变形构造合适的辅助函数F（x）；

（2）求F（x）在所给区间上的一阶导数，从而判别一阶导数在此区间上的符号；

（3）根据辅助函数在此区间上是否存在极值和最值的比较，得出所需要的结论。

不等式是数学中的重要内容之一，它反映了变量之间很重要的一种关系。论证不等式的方法很多，初等方法求解不等式，往往需要较高技巧，但利用微积分的思想证明不等式，可使不等式的证明过程大大简化，技巧性降低；同时能够体现高等数学对初等数学的指导作用。本文着重介绍用微积分知识证明不等式的几种常用方法，常见的方法有微分中值定理，函数的单调性，极（最）值的判定法，定积分的性质，泰勒公式等。这些方法能够使不等式的证明思路变得简单，从而利于问题的求解。

2.3积分的应用

2.3.1定积分的定义。设f（x）是定义在[a，b]上的只有有限个间断点的有界函数，在[a，b]中任意插入若干个分点（这里出入n-1个）。用a=x■

2.3.2切线的定义。

定义3：设m■是曲线y=f（x）上一定点，m是该曲线上一动点，从而有割线m■m，令m沿着曲线无限趋近于m■，则割线m■m的极限位置就是曲线y=f（x）在m■的切线（如果极限存在的话）。

这一定义与初等数学中圆的切线定义是一致的（用于讨论圆的切线时），用这一定义也容易证明y=0是y=x2的切线，而x=0不是y=x2的切线，这一切线定义可用于任何曲线y=f（x）。

2.3.3有关运算法则。

定积分中的弧长公式：

S=2π■y■dx

设曲线L的方程为：y=f（x）（a≤x≤b），设f（x）在

[a，b]上连续可导，则曲线L的弧上S为：

S=■■dx

3 微积分的应用举例

3.1微分的应用举例

例1：确定函数f（x）=2x3-9x2+12x-3的单调区间。

解：显然，f（x）的定义域为（-∞，+∞），f"（x■）=6x2-8x+12=6（x-1）（x-2）。

令f "（x■）=0，解得：

x■=1或x■=2，这两个根把定义域分为三个区间，即：（-∞，1），[1，2]和（2，+∞）

∵x■∈（-∞，1）时，f"（x■）>0；x■∈（1，2）时，f "（x■）<0；x■∈（2，+∞）时，f "（x■）>0。

由以上推论可知：函数f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上是增函数，在（1，2）上是减函数。

例2：已知a∈R，求函数F（x）=x2eax的单调区间

解：∵函数f（x）的导数为：f "（x■）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax

（1）当a=0时，若x<0，则f "（x■）<0；若x>0，则f "（x■）>0

∴当a=0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数。

（2）当a>0，由2x+ax2>0，解得：x<-■或x>0；由2x+ax2<0，解得：-■

∴当a>0时，函数f（x）在区间-∞，-■内为增函数，在区间-■，0内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数。

（3）当a<0时，由2x+ax2>0，解得：0-■。

∴当a<0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间0，-■内为增函数，在区间-■，+∞内为减函数。

3.2积分的应用举例

例3：证明半径为R的球面面积为S=4πR2。

证明：（利用定积分证）在直角坐标系中，曲线y=

f（x）在区间上一段弧绕x轴旋转一周而成的曲面的面积为：

S=2π■f（x）■dx

现在把球面x2+y2+z2=R2看成是由xy坐标面上的上半圆周：y=■（-R≤x≤R）绕x轴旋转一周而成，

f "（x■）=■，故所求球面的面积为：S=2π■f（x）■dx=2π■Rdx=4πR2

例4：证明半径为R的球面面积为S=4πR2

证明：（利用定积分证）在直角坐标系中，曲线

y=f（x）在区间上一段弧绕x轴旋转一周而成的曲面的面积为：

S=2π■f（x）■dx

现在把球面x2+y2+z2=R2看成是由xy坐标面上的上半圆周：y=■（-R≤x≤R）绕x轴旋转一周而成，

f "（x■）=■，故所求球面的面积为：S=2π■f（x）■dx=2π■Rdx=4πR2

4 结束语

综上所述，利用高等数学的一些思想、观点、原理和方法，可以改变我们对一些问题的思维方式，拓展我们的解题思路，不仅可以对初等数学的教学和研究有着很大的指导作用，也可以进一步加深我们对高等数学中的一些思想、观点、原理和方法的理解和掌握，达到一举两得。我们从事初等数学教学的教师，只有用高等数学的知识、观点和方法，以一种居高临下的态势，审视初等数学的教学内容，才能使初等数学的教学达到理想的境界，进而才能够不断地提高数学教学质量。对于微积分在初等数学中的应用还很多，还值得我们长期探讨和研究，微积分如果进入初等数学，可以扩大初等数学的应用范围，初等数学的面貌也就会发生很大的变化。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册，第3版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]李长明，周焕山.初等教育研究[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3]黄星寿.微分中值定理俯视通观初等数学的一些问题[J].河池师专学报（自然科学版），2002，22（4）.

[4]朱本富.高考总复习魔法数学（理科版）[M].北京：长征出版社，2005.

作者简介：芮媛媛（1993-），女，学士，江苏省南京人，就职于南京师范大学泰州学院数学科学与应用学院，研究方向：初等数学教育研究；王天予（1994-），女，学士，江苏省南京人，就职于南京师范大学泰州学院数学科学与应用学院，研究方向：数学教育。

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