谷堆\秃头与模糊数学

众所周知,一粒谷子不能形成谷堆,两粒谷子也不能组成谷堆,再加一粒谷子仍不能成为谷堆……那么照此结论,即使经过反复叠加也不能得到谷堆. 可我们又知道,谷堆是存在的,并且可以肯定是由谷子一粒一粒地堆积起来的. 这样两个似乎都正确的结论形同水火,引发了一个自然的问题:多少粒谷子才能组成谷堆呢?两个结论的矛盾冲突何在?这就是历史上著名的“谷堆论证”. 它是由古希腊哲学家欧布里德提出的一个问题,借以论证“多”不能成立. 同时,这位哲学家还提出了另一个问题:如果一个人拔去一根头发,不会就此成为秃头;再拔去一根,也不会成为秃头……如此反复递减也不会成为秃头. 可秃顶又的确是头发一根一根脱落的结果. 一个人到底要掉多少根头发才算秃头呢?这就是“秃头论证”,借以论证“少”不能成立.

对于这样的数学问题,如果你根据以往的经验,尝试寻找一个确切的数作为标准答案的话,那将注定无功而返. 你不能因为在某些谷子里添加了一粒,就称之为谷堆;也不能因为在某些谷子里没有添加这粒,就断定其不成谷堆. 类似的,你不能因为某人拔了一根头发,就说他是秃头;也不能因为他没有掉这一根头发,就说他不是秃头.

事实上,“谷堆”和“秃头”这些词都是模糊性、整体性的概念. 也就是说,“谷堆”和“秃头”都是整体性事物,我们感知到的是它们的整体性形象,这种思维是形象思维,不可能用一个精确的数来作划分的标准. 为此,美国控制论专家查德于1965年首先提出了“模糊集合”这一概念. 所谓“模糊集合”,是指由模糊概念组成的集合. 例如,谷堆和秃头这两个概念就属于模糊集合. 一些谷粒可以形成谷堆,也可以不构成谷堆,一个人不仅可以是秃头,也可以是非秃头(头发正常),还可以是介于秃与非秃之间的其他情况. 也就是说,在谷粒和谷堆、秃与不秃之间还存在许许多多程度不同的情况,因此不能简单地进行判断,这正是不好说多少粒谷子才算谷堆、掉多少根头发才算秃头的原因.

不过应该肯定的是,两个原来头发同样多的人,掉了n根头发的人与掉了(n+1)根头发的人相比,他们秃的程度(在数学上称隶属度)并不相同. 掉(n+1)根头发的人,秃的程度要比掉n根头发的人大一点,反复积累即n的值大到一定程度后,此人就由不秃渐渐地变成秃头. 谷堆的道理也一样.

查德教授第一次引人注目地提出了模糊性问题,并给出了模糊概念的定量表示方法. 这一成就显示数学开始进入带有模糊性的复杂“大系统”,标志着一门崭新的数学分支——模糊数学的产生.

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